Tautologia

Tautologia (do grego tautología, do mesmo — to auto + logos) — Em lógica proposicional, uma tautologia é uma fórmula que é verdadeira sob toda e qualquer atribuição de valores de verdade (verdadeiro/falso) às suas variáveis proposicionais. A tautologia é o caso particular e máximo da validade lógica no cálculo proposicional: uma fórmula logicamente válida é verdadeira em toda interpretação possível.

O exemplo canônico é o princípio do terceiro excluído: p ∨ ¬p (“ou p é verdadeiro ou p é falso”) — esta fórmula é verdadeira independentemente do que p designe. Igualmente tautológicas são p → p (“se p, então p”) e (p → q) → (¬q → ¬p) (forma contrapositiva do condicional). O teste de verificação é a tabela de verdade: constrói-se sistematicamente todas as combinações possíveis de valores de verdade das variáveis e verifica-se se a fórmula resulta verdadeira em todas elas.

O oposto da tautologia é a contradição (ou insatisfatibilidade): fórmula falsa em toda e qualquer atribuição, como p ∧ ¬p. Uma fórmula que não é nem tautologia nem contradição é contingente: ela é verdadeira em algumas atribuições e falsa em outras, e seu valor de verdade depende de fatos sobre o mundo.

Wittgenstein e o Tractatus Logico-Philosophicus (1921): Ludwig Wittgenstein introduziu uma interpretação filosófica profunda das tautologias que vai além de sua caracterização formal. No Tractatus, ele sustenta que as proposições com sentido (sinnvoll) são aquelas que representam estados de coisas possíveis no mundo — elas podem ser verdadeiras ou falsas. As tautologias, por contraste, são verdadeiras independentemente de qualquer estado de coisas: elas não dizem nada sobre o mundo, são sem sentido (sinnlos, não confundir com unsinnig, absurdo/contra-o-sentido). As proposições da lógica são todas tautológicas: “A lógica das proposições não diz nada” (prop. 6.11 do Tractatus). Elas mostram a estrutura formal da linguagem e do mundo, mas não informam sobre conteúdo empírico. Daí a ideia wittgensteiniana de que a lógica é transcendental — ela é a condição de possibilidade de toda proposição com sentido, mas ela mesma não acrescenta nenhum fato ao mundo.

Esta visão impactou profundamente o Círculo de Viena: para os positivistas lógicos como Rudolf Carnap, as proposições analíticas (incluindo as tautologias) são desprovidas de conteúdo empírico, enquanto as proposições sintéticas (sobre o mundo) têm esse conteúdo. A distinção analítico/sintético tornou-se central para o empirismo lógico, mas foi posteriormente atacada por W.V.O. Quine em “Two Dogmas of Empiricism” (1951).

Na lógica clássica de primeira ordem, a noção de tautologia generaliza-se para validade lógica: uma fórmula é logicamente válida se é verdadeira em toda estrutura (modelo) possível. O Teorema da Completude de Gödel (1930) demonstrou que toda fórmula válida da lógica de primeira ordem é derivável formalmente — ou seja, o conjunto das tautologias de primeira ordem coincide com o conjunto dos teoremas do cálculo de predicados.

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