Tautología (del griego tautología, decir lo mismo; to auto + logos) — En lógica proposicional, una tautología es una fórmula que es verdadera bajo toda y cualquier asignación de valores de verdad (verdadero/falso) a sus variables proposicionales. La tautología es el caso particular y máximo de la validez lógica en el cálculo proposicional: una fórmula lógicamente válida es verdadera en toda interpretación posible.
El ejemplo canónico es el principio del tercero excluido: p ∨ ¬p (“o p es verdadero o p es falso”) — esta fórmula es verdadera independientemente de lo que p designe. Igualmente tautológicas son p → p (“si p, entonces p”) y (p → q) → (¬q → ¬p) (forma contrapositiva del condicional). El método de verificación es la tabla de verdad: se construyen sistemáticamente todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las variables y se comprueba si la fórmula resulta verdadera en todas ellas.
Lo opuesto de la tautología es la contradicción (o fórmula insatisfacible): una fórmula falsa bajo toda asignación, como p ∧ ¬p. Una fórmula que no es tautología ni contradicción es contingente: es verdadera en algunas asignaciones y falsa en otras, y su valor de verdad depende de hechos sobre el mundo.
Wittgenstein y el Tractatus Logico-Philosophicus (1921): Ludwig Wittgenstein introdujo una interpretación filosófica profunda de las tautologías que va más allá de su caracterización formal. En el Tractatus, sostiene que las proposiciones con sentido (sinnvoll) son aquellas que representan estados de cosas posibles en el mundo — pueden ser verdaderas o falsas. Las tautologías, por el contrario, son verdaderas independientemente de cualquier estado de cosas: no dicen nada acerca del mundo; son sin sentido (sinnlos, que debe distinguirse de unsinnig, absurdo). Las proposiciones de la lógica son todas tautológicas: “Las proposiciones de la lógica no dicen nada” (prop. 6.11 del Tractatus). Muestran la estructura formal del lenguaje y del mundo, pero no transmiten ningún contenido empírico. De ahí la idea wittgensteiniana de que la lógica es trascendental — es la condición de posibilidad de toda proposición con sentido, pero ella misma no añade ningún hecho al mundo.
Esta concepción influyó profundamente en el Círculo de Viena: para los positivistas lógicos como Rudolf Carnap, las proposiciones analíticas (incluidas las tautologías) carecen de contenido empírico, mientras que las proposiciones sintéticas (sobre el mundo) lo poseen. La distinción analítico/sintético se convirtió en central para el empirismo lógico, pero fue posteriormente atacada por W.V.O. Quine en “Two Dogmas of Empiricism” (1951).
En la lógica clásica de primer orden, la noción de tautología se generaliza a validez lógica: una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en toda estructura (modelo) posible. El Teorema de Completitud de Gödel (1930) demostró que toda fórmula válida de la lógica de primer orden es derivable formalmente — es decir, el conjunto de las tautologías de primer orden coincide con el conjunto de los teoremas del cálculo de predicados.
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